Confrontare e usare le frazioni

Gli appunti

1. Confrontare due frazioni significa capire quale quantità è maggiore, quale è minore o se le quantità sono uguali. Prima controlliamo che gli interi di partenza abbiano la stessa grandezza.

   Esempio: Confrontiamo due tavolette di cioccolato uguali, divise in modi diversi.

2. Il denominatore dice in quante parti uguali è diviso un intero. Il numeratore dice quante di quelle parti consideriamo.

   Esempio: In 3/4, ogni pezzo è un quarto e prendiamo tre pezzi.

   3/4: 3 parti scelte su 4 parti uguali.

3. Se i denominatori sono uguali, le parti hanno la stessa grandezza. È maggiore la frazione con il numeratore maggiore.

   Esempio: Tre quarti contengono un quarto in più di due quarti.

   2/4 < 3/4

4. Se i numeratori sono uguali e maggiori di zero, prendiamo lo stesso numero di pezzi. È maggiore la frazione con il denominatore minore: i suoi pezzi sono più grandi.

   Esempio: Due terzi valgono più di due quinti dello stesso intero.

   2/3 > 2/5

5. Se sono diversi sia i numeratori sia i denominatori, riscriviamo le frazioni con lo stesso denominatore. Usiamo frazioni equivalenti: la quantità deve restare uguale.

   Esempio: Possiamo dividere lo stesso intero in 24 parti, perché 24 è multiplo sia di 8 sia di 12.

6. Per cambiare il denominatore, moltiplichiamo anche il numeratore per lo stesso fattore. Poi confrontiamo i nuovi numeratori.

   Esempio: Nel nostro esempio, trasformiamo 3/8 e 5/12 in frazioni con denominatore 24.

   3/8 = 9/24; 5/12 = 10/24

7. Il segno < si legge «è minore di»; > si legge «è maggiore di»; = si legge «è equivalente a». La punta dei segni < e > guarda la quantità più piccola.

   Esempio: 3/8 è minore di 5/12.

   3/8 < 5/12

8. Controlliamo con il disegno. I due rettangoli rappresentano interi uguali. Il rettangolo con meno superficie colorata rappresenta la frazione minore.

   Esempio: Contiamo parti della stessa grandezza, senza lasciarci ingannare dal solo numero dei pezzi.

Stesso denominatore: confronto i numeratori. Denominatori diversi: cerco prima parti della stessa grandezza.

Gli appunti

1. Due frazioni sono complementari quando, sommate, formano esattamente un intero. Devono riferirsi allo stesso intero, diviso in parti uguali.

   Esempio: La parte mangiata e la parte rimasta di una tavoletta formano tutta la tavoletta.

2. Per scrivere un intero come frazione, usiamo lo stesso numero sopra e sotto la linea.

   Esempio: Se la tavoletta ha 16 parti uguali, tutte le sue parti sono 16/16.

   16/16 = 1

3. Osserviamo quante parti sono già scelte. Il numeratore della frazione iniziale conta proprio queste parti.

   Esempio: Sono scelte 7 parti su 16.

   7/16

4. Per trovare le parti che mancano, togliamo le parti scelte dal totale. Il denominatore resta uguale, perché la grandezza dei pezzi non cambia.

   Esempio: Calcoliamo 16 − 7 = 9.

   La frazione complementare è 9/16.

5. Controlliamo sommando le parti scelte e quelle mancanti. Il totale deve essere uguale al denominatore.

   Esempio: Le 7 parti scelte e le 9 parti mancanti formano tutte le 16 parti.

   7/16 + 9/16 = 16/16 = 1

6. Negli esercizi tocchiamo solo le caselle ancora vuote. Quando l’intero è completo, non deve restare nessuna parte vuota e nessuna parte deve essere contata due volte.

Totale delle parti − parti scelte = parti mancanti. Il denominatore resta uguale.

Gli appunti

1. Una frazione può indicare una parte di una quantità di oggetti. L’intero, in questo caso, è tutto il gruppo iniziale.

   Esempio: Vogliamo trovare 5/8 di 168 semi.

2. Leggiamo il denominatore. Dice in quanti gruppi uguali dobbiamo dividere la quantità totale.

   Esempio: Il denominatore è 8: prepariamo 8 gruppi uguali.

3. Dividiamo il totale per il denominatore. Così troviamo quanti oggetti ci sono in un solo gruppo, cioè il valore di una parte.

   Esempio: Ogni gruppo contiene 21 semi.

   168 ÷ 8 = 21

4. Leggiamo il numeratore. Dice quanti gruppi dobbiamo prendere. Moltiplichiamo gli oggetti di un gruppo per il numero dei gruppi richiesti.

   Esempio: Prendiamo 5 gruppi da 21 semi.

   21 × 5 = 105

5. Scriviamo la risposta completa, con il nome degli oggetti. Il risultato conta i semi scelti, non soltanto i gruppi.

   Esempio: 5/8 di 168 semi sono 105 semi.

   168 ÷ 8 × 5 = 105

6. Per controllare, ricostruiamo prima il totale con tutti i gruppi. Poi controlliamo che i gruppi scelti siano tanti quanti indica il numeratore.

   Esempio: 8 gruppi da 21 formano 168 semi. Ne scegliamo 5.

Prima divido il totale per il denominatore. Poi moltiplico il risultato per il numeratore.

Gli appunti

1. Le frazioni equivalenti indicano la stessa quantità dello stesso intero. Possono avere numeratori e denominatori diversi.

   Esempio: La metà di una tavoletta vale quanto due quarti di una tavoletta uguale.

   1/2 = 2/4

2. Possiamo dividere ogni pezzo in parti più piccole. Il numero dei pezzi aumenta, ma la superficie scelta resta uguale.

   Esempio: Se divido ogni terzo in due, ottengo sesti. Due terzi diventano quattro sesti.

   2/3 = 4/6

3. Per ottenere una frazione equivalente, moltiplichiamo il numeratore e il denominatore per lo stesso numero diverso da zero.

   Esempio: Moltiplichiamo entrambi i termini di 2/3 per 2.

   (2 × 2)/(3 × 2) = 4/6

4. Possiamo anche dividere entrambi i termini per lo stesso numero diverso da zero. Per continuare a scrivere numeri naturali, scegliamo un divisore comune del numeratore e del denominatore.

   Esempio: 6 e 8 sono entrambi divisibili per 2.

   (6 ÷ 2)/(8 ÷ 2) = 3/4

5. Quando dividiamo entrambi i termini, la frazione si scrive con numeri più piccoli. Questo passaggio si chiama semplificazione. La quantità resta uguale.

   Esempio: Sei ottavi e tre quarti colorano la stessa parte di due tavolette uguali.

   6/8 = 3/4

6. Controlliamo il fattore usato sopra e sotto la linea: deve essere proprio lo stesso. Lo zero è escluso: una divisione per zero non è possibile e il denominatore non può diventare zero.

   Esempio: Nel nostro esempio usiamo × 3 per entrambi i termini.

   3/8 = 9/24

7. Infine confrontiamo i disegni: gli interi hanno la stessa grandezza e la parte colorata coincide. Sono cambiati i pezzi, non la quantità.

Stessa moltiplicazione o stessa divisione sopra e sotto la linea. Il fattore è diverso da zero.

Gli appunti

1. Il denominatore dice quante parti uguali formano un intero. Confronta il numeratore con quel numero.

2. Se il numeratore è più piccolo del denominatore, la frazione è propria: 3/4 è meno di un intero.

3. Se il numeratore è maggiore, la frazione è impropria: 5/4 contiene un intero e ancora un quarto. In senso ampio anche le frazioni apparenti appartengono alle improprie.

4. Se il numeratore è un multiplo del denominatore, la frazione è apparente: 8/4 vale esattamente 2 interi. Negli esercizi scegliamo questo nome più specifico; anche 4/4 è apparente.