Poligoni, perimetri, aree e solidi

Un poligono è una figura piana delimitata da una linea semplice, chiusa e formata soltanto da segmenti.

Ogni segmento del contorno è un lato. Il punto in cui si incontrano due lati consecutivi è un vertice.

Per contare, scegli un vertice di partenza e segui il contorno sempre nello stesso verso. Fermati quando torni alla partenza.

Tre lati formano un triangolo; quattro un quadrilatero; cinque un pentagono; sei un esagono. Un tratto dentro la figura non aggiunge un lato al contorno.

Una retta si immagina senza fine in entrambe le direzioni. Nel foglio possiamo disegnarne soltanto un tratto.

Due rette parallele mantengono la stessa distanza e non si incontrano, anche se le prolunghiamo.

Due rette incidenti si incontrano. Sono perpendicolari quando, incontrandosi, formano quattro angoli retti, come gli angoli di un foglio.

Guarda le aperture nel punto di incontro. Le rette perpendicolari possono anche essere oblique sul foglio: conta la loro relazione, non come è girata la pagina.

Una figura piana si rappresenta su un piano, come un quadrato sul foglio. Un solido occupa spazio, come una scatola o una palla.

Una faccia piana è una parte piatta del solido, come il lato di una scatola. Una superficie curva si piega come quella di una palla.

Un cubo ha 6 facce piane. Un cilindro ha due basi piane e una superficie laterale curva; un cono ha una base piana e una superficie curva.

Una sfera non ha facce piane. Nel conteggio immagina di girare l’oggetto: devi considerare anche le parti nascoste.

Un poliedro è un solido delimitato da facce piane a forma di poligono. Sono esempi il cubo e la piramide a base quadrata.

Una faccia è una superficie piana. Uno spigolo è un segmento comune a due facce. Un vertice è un punto in cui si incontrano gli spigoli.

Il cubo e il parallelepipedo rettangolo hanno 6 facce, 12 spigoli e 8 vertici. La piramide a base quadrata ha 5 facce, 8 spigoli e 5 vertici.

Leggi prima quale elemento chiede la domanda. Le linee tratteggiate rappresentano parti nascoste: esistono e vanno contate.

Il perimetro è la lunghezza di tutto il contorno di una figura. Pensa al nastro necessario per seguirne il bordo.

In un rettangolo i lati opposti sono uguali: ci sono due basi e due altezze.

Puoi sommare base + altezza + base + altezza, oppure sommare base e altezza e raddoppiare: P = (b + h) × 2.

Il risultato è una lunghezza, quindi si esprime in cm, m o un’altra unità di lunghezza. L’area, invece, misura l’interno e usa unità quadrate.

Tutti i triangoli hanno tre lati, ma le loro lunghezze possono essere uguali oppure diverse.

Un triangolo equilatero ha tutti e tre i lati uguali. Un triangolo scaleno ha tutti e tre i lati diversi.

Un triangolo isoscele ha almeno due lati uguali. Quando la domanda dice “esattamente due”, il terzo è diverso dagli altri.

Un equilatero ha anche la proprietà di avere almeno due lati uguali, ma negli esercizi scegliamo il nome più specifico: equilatero. Leggi le misure o le proprietà scritte, senza affidarti soltanto all’aspetto.

Un quadrilatero ha quattro lati. Due lati sono opposti se non si incontrano in un vertice.

Due rette sono parallele se mantengono la stessa distanza e non si incontrano. Cerca quante coppie di lati opposti hanno questa proprietà.

Un parallelogramma ha due coppie di lati opposti paralleli. Rettangoli, rombi e quadrati appartengono a questa famiglia.

Negli esercizi di questa attività chiamiamo trapezio un quadrilatero con una sola coppia di lati paralleli. Alcuni libri usano una definizione più ampia; qui segui l’indicazione precisa della domanda.

Prima scegliamo un lato come base. Per ogni base del triangolo esiste un’altezza corrispondente.

L’altezza parte dal vertice opposto e incontra la retta della base formando un angolo retto, cioè di 90°.

A volte il punto di incontro è sul lato; altre volte è sul suo prolungamento, fuori dal triangolo. In entrambi i casi il segmento è un’altezza.

Un lato obliquo non diventa altezza soltanto perché va verso l’alto. Cerca il piccolo segno dell’angolo retto o controlla la perpendicolarità.

L’area misura la superficie interna. Un cm² corrisponde a un quadratino di lato 1 cm.

Nel rettangolo ogni riga contiene tanti quadratini quanti ne indica la base; il numero delle righe dipende dall’altezza. Per questo A = base × altezza.

Nel parallelogramma si può spostare un pezzo da un’estremità all’altra e ottenere un rettangolo con la stessa superficie. Anche qui A = base × altezza perpendicolare.

Un triangolo occupa metà di un parallelogramma con la stessa base e la stessa altezza. Perciò A = base × altezza ÷ 2.

Prima del calcolo riconosci la figura e l’altezza perpendicolare. Le lunghezze devono usare la stessa unità; il risultato usa l’unità quadrata.

Un quadrato ha quattro lati uguali e quattro angoli retti. La sua base e la sua altezza hanno la stessa lunghezza.

Se il lato è 5 cm, ogni riga contiene 5 quadratini di 1 cm² e le righe sono 5.

Per trovare l’area moltiplica il lato per sé stesso: A = lato × lato. Puoi trovare la stessa scrittura come A = l².

Il perimetro è un’altra misura: segue i quattro lati e vale lato × 4. L’area ricopre l’interno e si esprime in unità quadrate.

Un rombo è un quadrilatero con quattro lati uguali. Le sue diagonali uniscono le coppie di vertici opposti.

Le diagonali del rombo si incontrano ad angolo retto. Indichiamo spesso la più lunga con D e la più corta con d.

Il rombo occupa metà del rettangolo che ha base lunga quanto una diagonale e altezza lunga quanto l’altra.

Perciò la sua area è A = D × d ÷ 2. Le diagonali devono essere misurate nella stessa unità; l’area si scrive in unità quadrate.

Le basi del trapezio sono i due lati paralleli. La più lunga si indica spesso con B e la più corta con b.

L’altezza h misura la distanza perpendicolare tra le rette delle basi. Non è necessariamente un lato del trapezio.

Due trapezi uguali, affiancati nel modo adatto, formano un parallelogramma con base B + b e altezza h.

Calcola quindi (B + b) × h e prendi la metà: A = (B + b) × h ÷ 2. Prima esegui la somma dentro le parentesi.

L’area del rettangolo si trova con base × altezza. Se conosci l’area e uno dei due lati, puoi risalire all’altro.

Immagina i quadratini divisi in righe uguali. Se sai quanti sono in tutto e quante righe ci sono, la divisione dice quanti stanno in ogni riga.

Per trovare la base calcola area ÷ altezza. Per trovare l’altezza calcola area ÷ base.

Il risultato è una lunghezza e si esprime in cm se parti da cm² e cm. Per controllare moltiplica i due lati e ritrova l’area.

Due figure hanno la stessa area se occupano la stessa quantità di superficie, anche quando hanno forme diverse.

Per confrontarle usa la stessa unità: quadratini tutti della stessa grandezza, senza spazi e senza sovrapposizioni.

Conta i quadratini della prima figura e poi quelli della seconda. Puoi moltiplicare righe per colonne.

Se i totali sono uguali, le figure sono equiestese. Questo non garantisce che abbiano lo stesso contorno o che combacino sovrapponendole.

Segui il contorno di un poligono. A volte il contorno presenta una rientranza, come una parte che entra verso l’interno.

Un poligono con una rientranza è concavo. Almeno un suo angolo interno supera 180°.

Un poligono senza rientranze è convesso. Se scegli due punti al suo interno, il segmento che li unisce rimane nella figura.

La concavità non dipende da quanto è inclinata o grande la figura. Ruotare il foglio non elimina una rientranza.