Matematica · scuola primaria · Geometria
Confrontare e calcolare le aree
Spiegazioni ed esercizi per la classe quinta (5ª).
Leggi gli appunti con calma, segui l’esempio già svolto e poi prova gli esercizi. Non c’è un tempo da rispettare: se un passaggio è difficile, puoi fermarti e riguardarlo.
Passo 1 · Prima capisco
Sovrapporre senza deformare
Sovrapporre senza deformare
Gli appunti
Due figure congruenti si possono sovrapporre perfettamente.
Piccolo esempio: Le due figure possono sovrapporsi: sono congruenti. Posso spostare, girare o ribaltare una figura.
La forma e la grandezza devono restare le stesse.
Guardo un esempio svolto
Le due figure sono congruenti?
A: base 4 cm, altezza 2 cm · B: base 8 cm, altezza 1 cm
- Confronto le lunghezze dei lati.
- Provo a spostare o girare la figura.
- Controllo se i contorni possono combaciare tutti.
- Hanno la stessa area, ma forma diversa: sono equiestese, non congruenti.
Il risultato: La risposta è no.
Ora provo con gli esercizi
Nell’allenamento rispondi a una domanda alla volta. Puoi chiedere un indizio, scegliere «Un passo alla volta» e tornare all’esempio quando vuoi.
Passo 2 · Prima capisco
Stessa area o stesso perimetro?
Stessa area o stesso perimetro? Applico l’idea a un problema con più passaggi.
Gli appunti
L’area misura la superficie; il perimetro misura il contorno.
Piccolo esempio: Il bordo misura il perimetro; la parte colorata è la superficie. Figure equiestese hanno la stessa area.
Figure isoperimetriche hanno lo stesso perimetro: le due proprietà sono diverse.
Guardo un esempio svolto
Confronta sia la superficie sia il contorno dei due rettangoli. Quale conclusione è corretta?
A
B
- A: base:
- 10 cm
- A: altezza:
- 14,5 cm
- B: base:
- 20 cm
- B: altezza:
- 8,25 cm
- A: area 10 × 14,5 = 145 cm²; perimetro 49 cm.
- B: area 20 × 8,25 = 165 cm²; perimetro 56,5 cm.
- Conclusione: area e perimetro diversi.
Il risultato: La risposta è area e perimetro diversi.
Ora provo con gli esercizi
Nell’allenamento rispondi a una domanda alla volta. Puoi chiedere un indizio, scegliere «Un passo alla volta» e tornare all’esempio quando vuoi.
Passo 3 · Prima capisco
Un’area fatta di più pezzi
Un’area fatta di più pezzi Applico l’idea a un problema con più passaggi.
Gli appunti
Una figura complessa può essere divisa in figure note.
Piccolo esempio: Una figura a L si può ottenere togliendo un rettangolo. Le parti non devono sovrapporsi e non devono lasciare buchi.
Sommo le loro aree; se tolgo un pezzo, sottraggo la sua area.
Guardo un esempio svolto
Il pezzo tolto ha l’altezza indicata in millimetri. Quanto misura l’area rimasta in cm²?
- Rettangolo intero: base:
- 30,5 cm
- Rettangolo intero: altezza:
- 10,5 cm
- Ritaglio: base:
- 7 cm
- Ritaglio: altezza:
- 50 mm
- Ritaglio: 50 mm ÷ 10 = 5 cm; area 7 × 5 = 35 cm².
- Intero: 30,5 × 10,5 = 320,25 cm².
- Resta 320,25 − 35 = 285,25 cm².
Il risultato: La risposta è 285,25 cm².
Ora provo con gli esercizi
Nell’allenamento rispondi a una domanda alla volta. Puoi chiedere un indizio, scegliere «Un passo alla volta» e tornare all’esempio quando vuoi.
Passo 4 · Prima capisco
Area del triangolo: cerco l’altezza
Area del triangolo: cerco l’altezza Applico l’idea a un problema con più passaggi.
Gli appunti
Due triangoli uguali formano un parallelogramma.
Piccolo esempio: La base e l’altezza sono collegate alla superficie. Raddoppio l’area del triangolo per ritrovare base × altezza.
Divido per la base nota e trovo l’altezza perpendicolare.
Guardo un esempio svolto
L’area del triangolo è espressa in mm². Trova la altezza in centimetri.
- Area:
- 18'750 mm²
- Base:
- 30 cm
- Area: 18'750 mm² ÷ 100 = 187,5 cm².
- Richiamo la formula dell’area del triangolo.
- Altezza: 187,5 × 2 ÷ 30 = 12,5 cm.
Il risultato: La risposta è 12,5 cm.
Ora provo con gli esercizi
Nell’allenamento rispondi a una domanda alla volta. Puoi chiedere un indizio, scegliere «Un passo alla volta» e tornare all’esempio quando vuoi.
Passo 5 · Prima capisco
Area del romboide: cerco l’altezza
Area del romboide: cerco l’altezza Applico l’idea a un problema con più passaggi.
Gli appunti
L’area del romboide è base × altezza perpendicolare.
Piccolo esempio: La base e l’altezza sono collegate alla superficie. Il lato obliquo non sostituisce l’altezza.
Divido l’area per la base per trovare l’altezza.
Guardo un esempio svolto
L’area del parallelogramma è espressa in mm². Trova la altezza in centimetri.
- Area:
- 25'300 mm²
- Base:
- 22 cm
- Area: 25'300 mm² ÷ 100 = 253 cm².
- Richiamo la formula dell’area del parallelogramma.
- Altezza: 253 ÷ 22 = 11,5 cm.
Il risultato: La risposta è 11,5 cm.
Ora provo con gli esercizi
Nell’allenamento rispondi a una domanda alla volta. Puoi chiedere un indizio, scegliere «Un passo alla volta» e tornare all’esempio quando vuoi.
Passo 6 · Prima capisco
Area del rombo: cerco una diagonale
Area del rombo: cerco una diagonale Applico l’idea a un problema con più passaggi.
Gli appunti
L’area del rombo è metà del prodotto delle diagonali.
Piccolo esempio: La base e l’altezza sono collegate alla superficie. Raddoppio l’area per ritrovare il loro prodotto.
Divido per la diagonale nota per trovare l’altra.
Guardo un esempio svolto
L’area del rombo è espressa in mm². Trova la diagonale minore in centimetri.
- Area:
- 11'550 mm²
- Diagonale maggiore:
- 22 cm
- Area: 11'550 mm² ÷ 100 = 115,5 cm².
- Prodotto delle diagonali: 115,5 × 2 = 231.
- Diagonale minore: 115,5 × 2 ÷ 22 = 10,5 cm.
Il risultato: La risposta è 10,5 cm.
Ora provo con gli esercizi
Nell’allenamento rispondi a una domanda alla volta. Puoi chiedere un indizio, scegliere «Un passo alla volta» e tornare all’esempio quando vuoi.
Passo 7 · Prima capisco
Area del trapezio: cerco l’altezza
Area del trapezio: cerco l’altezza Applico l’idea a un problema con più passaggi.
Gli appunti
L’area del trapezio usa la somma delle due basi.
Piccolo esempio: La base e l’altezza sono collegate alla superficie. Raddoppio l’area per eliminare la divisione per due.
Divido per la somma delle basi per trovare l’altezza.
Guardo un esempio svolto
L’area del trapezio è espressa in mm². Trova la altezza in centimetri.
- Area:
- 8'550 mm²
- Base maggiore:
- 14 cm
- Base minore:
- 4 cm
- Area: 8'550 mm² ÷ 100 = 85,5 cm².
- Somma delle basi: 14 + 4 = 18 cm.
- Altezza: 85,5 × 2 ÷ (14 + 4) = 9,5 cm.
Il risultato: La risposta è 9,5 cm.
Ora provo con gli esercizi
Nell’allenamento rispondi a una domanda alla volta. Puoi chiedere un indizio, scegliere «Un passo alla volta» e tornare all’esempio quando vuoi.
Passo 8 · Prima capisco
Area contando i nodi: un’idea in più
Area contando i nodi: un’idea in più Applico l’idea a un problema con più passaggi.
Gli appunti
Questo metodo vale per poligoni semplici con vertici sui nodi di un reticolo regolare.
Piccolo esempio: Tre righe da quattro quadretti coprono dodici unità. Conto i nodi interni I e quelli sul confine C.
Con passi di 1 cm, l’area in cm² è I + C ÷ 2 − 1.
Guardo un esempio svolto
Ogni passo del reticolo è 1 cm. Calcola l’area contando i nodi e poi esprimila in mm².
- Nodi interni I:
- 45
- Nodi sul confine C:
- 32
- Area: 45 + 32 ÷ 2 − 1 = 60 cm².
- Converto 60 × 100 = 6000 mm².
- L’area richiesta è 6000 mm².
Il risultato: La risposta è 6'000 mm².
Ora provo con gli esercizi
Nell’allenamento rispondi a una domanda alla volta. Puoi chiedere un indizio, scegliere «Un passo alla volta» e tornare all’esempio quando vuoi.