Matematica · scuola primaria · Geometria
Usare righello, goniometro e reticoli
Spiegazioni ed esercizi per la classe quinta (5ª).
Leggi gli appunti con calma, segui l’esempio già svolto e poi prova gli esercizi. Non c’è un tempo da rispettare: se un passaggio è difficile, puoi fermarti e riguardarlo.
Passo 1 · Prima capisco
Le due coordinate di un punto
Le due coordinate di un punto
Gli appunti
La prima coordinata dice quanti passi fare verso destra.
Piccolo esempio: P ha coordinate (3; 2), anche seguendo le linee del reticolo. La seconda dice quanti passi fare verso l’alto.
Parto sempre dall’origine, il punto (0; 0).
Guardo un esempio svolto
Quali sono le coordinate del punto P?
- Dall’origine arrivo sotto P con 2 passi verso destra.
- Salgo di 2 passi.
- Scrivo prima 2 e poi 2, separati dal punto e virgola.
- Le coordinate sono (2; 2).
Il risultato: La risposta è (2; 2).
Ora provo con gli esercizi
Nell’allenamento rispondi a una domanda alla volta. Puoi chiedere un indizio, scegliere «Un passo alla volta» e tornare all’esempio quando vuoi.
Passo 2 · Prima capisco
Leggo il goniometro
Leggo il goniometro
Gli appunti
Il centro del goniometro va sul vertice dell’angolo.
Piccolo esempio: Leggo 60° sulla scala che parte da zero a destra. Lo zero deve essere allineato a un lato dell’angolo.
Leggo sulla stessa scala la tacca raggiunta dall’altro lato.
Guardo un esempio svolto
Quanto misura l’angolo segnato sul goniometro, in gradi?
- Il centro coincide con il vertice.
- Seguo la scala che comincia con 0 a destra.
- L’altro lato raggiunge la tacca 60.
- L’angolo misura 60°.
Il risultato: La risposta è 60 °.
Ora provo con gli esercizi
Nell’allenamento rispondi a una domanda alla volta. Puoi chiedere un indizio, scegliere «Un passo alla volta» e tornare all’esempio quando vuoi.
Passo 3 · Prima capisco
Scelgo il lato per costruire l’angolo
Scelgo il lato per costruire l’angolo
Gli appunti
Per costruire un angolo traccio prima un lato.
Piccolo esempio: Leggo 60° sulla scala che parte da zero a destra. Centro il goniometro sul vertice e allineo lo zero al lato.
Segno la tacca richiesta e traccio l’altro lato verso quella tacca.
Guardo un esempio svolto
Partendo dal lato orizzontale verso destra, quale raggio costruisce un angolo di 90°?
- Allineo il centro del goniometro al vertice.
- Scelgo lo zero sul lato orizzontale verso destra.
- Seguo la scala fino a 90° e scelgo il raggio su quella tacca.
- Il raggio B passa per la tacca 90°.
Il risultato: La risposta è B.
Ora provo con gli esercizi
Nell’allenamento rispondi a una domanda alla volta. Puoi chiedere un indizio, scegliere «Un passo alla volta» e tornare all’esempio quando vuoi.
Passo 4 · Prima capisco
Ingrandisco o riduco tutte le lunghezze
Ingrandisco o riduco tutte le lunghezze Applico l’idea a un problema con più passaggi.
Gli appunti
Una riproduzione in scala cambia tutte le lunghezze con lo stesso fattore.
Piccolo esempio: Ogni lato del rettangolo B è il doppio del corrispondente lato di A. Se raddoppio, ogni lato diventa il doppio; se dimezzo, diventa la metà.
Gli angoli restano uguali.
Guardo un esempio svolto
Tutte le lunghezze del rettangolo sono ingrandite con lo stesso fattore. Quanto misura il nuovo perimetro?
A
B
- A: base:
- 15,5 cm
- A: altezza:
- 11,5 cm
- Fattore d’ingrandimento:
- 4
- Nuova base: 15,5 × 4 = 62 cm.
- Nuova altezza: 11,5 × 4 = 46 cm.
- Perimetro di B: (62 + 46) × 2 = 216 cm.
Il risultato: La risposta è 216 cm.
Ora provo con gli esercizi
Nell’allenamento rispondi a una domanda alla volta. Puoi chiedere un indizio, scegliere «Un passo alla volta» e tornare all’esempio quando vuoi.
Passo 5 · Prima capisco
Raddoppio i lati: che cosa succede all’area?
Raddoppio i lati: che cosa succede all’area? Applico l’idea a un problema con più passaggi.
Gli appunti
Una scala cambia anche la superficie della figura.
Piccolo esempio: Ogni lato del rettangolo B è il doppio del corrispondente lato di A. Se ogni lato raddoppia, raddoppiano sia le colonne sia le righe.
L’area diventa quattro volte quella iniziale.
Guardo un esempio svolto
Rettangolo B è un ingrandimento di A. Calcola l’area di B, senza moltiplicare l’area iniziale per il solo fattore dei lati.
A
B
- A: base:
- 16,5 cm
- A: altezza:
- 5,5 cm
- Fattore per tutti i lati:
- 2
- Base di B: 16,5 × 2 = 33 cm.
- Altezza di B: 5,5 × 2 = 11 cm.
- Area di B: 33 × 11 = 363 cm².
Il risultato: La risposta è 363 cm².
Ora provo con gli esercizi
Nell’allenamento rispondi a una domanda alla volta. Puoi chiedere un indizio, scegliere «Un passo alla volta» e tornare all’esempio quando vuoi.
Passo 6 · Prima capisco
La forma resta in proporzione?
La forma resta in proporzione? Applico l’idea a un problema con più passaggi.
Gli appunti
Figure simili hanno gli stessi angoli e lo stesso rapporto fra lati corrispondenti.
Piccolo esempio: Ogni lato del rettangolo B è il doppio del corrispondente lato di A. Tutte le lunghezze devono cambiare con lo stesso fattore.
Cambiare soltanto un lato deforma la figura.
Guardo un esempio svolto
Le misure di B mantengono la forma di A? Calcola entrambi i rapporti prima di scegliere.
A
B
- A: base:
- 22,5 cm
- A: altezza:
- 11,5 cm
- B: base:
- 90 cm
- B: altezza:
- 47 cm
- Rapporto delle basi: 90 ÷ 22,5 = 4.
- Rapporto delle altezze: 47 ÷ 11,5 ≠ 4.
- I rapporti sono diversi: B è deformato.
Il risultato: La risposta è no.
Ora provo con gli esercizi
Nell’allenamento rispondi a una domanda alla volta. Puoi chiedere un indizio, scegliere «Un passo alla volta» e tornare all’esempio quando vuoi.
Passo 7 · Prima capisco
Copio le coordinate sul reticolo inclinato
Copio le coordinate sul reticolo inclinato
Gli appunti
Su un reticolo inclinato conto ancora passi lungo le righe e le colonne.
Piccolo esempio: P ha coordinate (3; 2), anche seguendo le linee del reticolo. La figura può deformarsi: non ogni cambiamento del reticolo è una scala.
Per ritrovare un punto seguo gli stessi numeri di passi nelle due direzioni.
Guardo un esempio svolto
Quale punto del reticolo inclinato corrisponde a (2; 1)?
- Faccio 2 passi lungo la riga da sinistra a destra.
- Da lì faccio 1 passi lungo la colonna inclinata.
- Scelgo il punto raggiunto, senza scambiare le due coordinate.
- Il punto B si raggiunge con 2 passi di riga e 1 di colonna.
Il risultato: La risposta è B.
Ora provo con gli esercizi
Nell’allenamento rispondi a una domanda alla volta. Puoi chiedere un indizio, scegliere «Un passo alla volta» e tornare all’esempio quando vuoi.
Passo 8 · Prima capisco
Angoli convessi e concavi
Angoli convessi e concavi
Gli appunti
Un angolo maggiore di 0° e minore di 180° è convesso.
Piccolo esempio: 120° è meno di un mezzo giro: l’angolo è convesso. Fra 180° e 360° l’angolo è concavo: consideriamo la parte colorata più ampia.
Qui chiamiamo a parte 0° nullo, 180° piatto e 360° giro.
Guardo un esempio svolto
Come classifichi l’angolo indicato dalla parte colorata?
Ampiezza indicata: 120°
- L’ampiezza indicata è 120°.
- Controllo se coincide con 0°, 180° o 360°.
- Se è fra 0° e 180° è convesso; fra 180° e 360° è concavo.
- L’angolo di 120° si chiama qui convesso.
Il risultato: La risposta è convesso.
Ora provo con gli esercizi
Nell’allenamento rispondi a una domanda alla volta. Puoi chiedere un indizio, scegliere «Un passo alla volta» e tornare all’esempio quando vuoi.
Passo 9 · Prima capisco
Due angoli: come sono collegati?
Due angoli: come sono collegati?
Gli appunti
Angoli consecutivi hanno vertice e un lato in comune, senza sovrapporre le parti interne.
Piccolo esempio: Due angoli consecutivi hanno un lato e il vertice in comune. Sono adiacenti quando i due lati non comuni formano una retta: insieme misurano 180°.
Gli opposti al vertice si trovano di fronte quando due rette si incrociano e hanno la stessa ampiezza.
Guardo un esempio svolto
Qual è il nome più specifico per i due angoli colorati 1 e 2?
- Gli angoli hanno stesso vertice e un lato in comune.
- I lati non comuni sono semirette opposte: formano una retta.
- Scelgo adiacenti, il nome più specifico.
- Sono angoli adiacenti. Sono anche consecutivi e insieme formano 180°.
Il risultato: La risposta è adiacenti.
Ora provo con gli esercizi
Nell’allenamento rispondi a una domanda alla volta. Puoi chiedere un indizio, scegliere «Un passo alla volta» e tornare all’esempio quando vuoi.
Passo 10 · Prima capisco
La lettera al centro indica il vertice
La lettera al centro indica il vertice
Gli appunti
Per dare il nome a un angolo posso usare tre lettere.
Piccolo esempio: Nell’angolo ABC il vertice è B. La lettera in mezzo indica sempre il vertice.
ABC e CBA indicano lo stesso angolo con vertice B.
Guardo un esempio svolto
Qual è la lettera del vertice nell’angolo POQ?
- Leggo il nome POQ.
- La lettera fra P e Q è O.
- Controllo che corrisponda al punto comune ai due lati.
- Il vertice è O.
Il risultato: La risposta è O.
Ora provo con gli esercizi
Nell’allenamento rispondi a una domanda alla volta. Puoi chiedere un indizio, scegliere «Un passo alla volta» e tornare all’esempio quando vuoi.
Passo 11 · Prima capisco
Quanto manca all’angolo intero?
Quanto manca all’angolo intero? Applico l’idea a un problema con più passaggi.
Gli appunti
Un angolo retto misura 90°, un piatto 180° e un giro 360°.
Piccolo esempio: 60° più 30° completano un angolo retto. Se conosco una parte, posso trovare la parte che manca.
Tolgo l’ampiezza nota dall’ampiezza totale.
Guardo un esempio svolto
Due aperture note sono contenute nell’angolo totale. Quanti gradi mancano per completarlo?
- Apertura totale:
- 360 °
- Prima parte:
- 165 °
- Seconda parte:
- 95 °
- Parti note: 165 + 95 = 260°.
- Parte mancante: 360 − 260 = 100°.
- Controllo 165 + 95 + 100 = 360°.
Il risultato: La risposta è 100 °.
Ora provo con gli esercizi
Nell’allenamento rispondi a una domanda alla volta. Puoi chiedere un indizio, scegliere «Un passo alla volta» e tornare all’esempio quando vuoi.
Passo 12 · Prima capisco
Misuro anche quando non parto da zero
Misuro anche quando non parto da zero
Gli appunti
Il righello confronta una lunghezza con la sua scala graduata.
Piccolo esempio: Da 1 a 3: il segmento è lungo 2 unità. Se il segmento parte da zero, leggo la tacca finale.
Se parte da un’altra tacca, sottraggo posizione iniziale a posizione finale.
Guardo un esempio svolto
Quanto è lungo il segmento, in cm?
Le tacche numerate indicano centimetri. Leggi inizio e fine del segmento.
- Il segmento inizia sulla tacca 2 cm.
- Finisce sulla tacca 5 cm.
- Calcolo 5 − 2.
- Il segmento è lungo 3 cm.
Il risultato: La risposta è 3 cm.
Ora provo con gli esercizi
Nell’allenamento rispondi a una domanda alla volta. Puoi chiedere un indizio, scegliere «Un passo alla volta» e tornare all’esempio quando vuoi.
Passo 13 · Prima capisco
Quale strumento mi aiuta?
Quale strumento mi aiuta?
Gli appunti
La riga traccia linee e segmenti; la squadra aiuta a costruire angoli retti e perpendicolari.
Piccolo esempio: La riga aiuta a tracciare segmenti e leggere lunghezze. Il compasso riporta una distanza e traccia circonferenze.
Il goniometro misura e costruisce ampiezze in gradi.
Guardo un esempio svolto
Quale strumento è il più adatto per tracciare una retta perpendicolare a una retta data?
- Appoggio un lato della squadra alla retta data.
- Uso il lato che forma un angolo retto con il primo.
- Traccio la nuova retta lungo quel lato.
- Lo strumento più adatto è la squadra.
Il risultato: La risposta è squadra.
Ora provo con gli esercizi
Nell’allenamento rispondi a una domanda alla volta. Puoi chiedere un indizio, scegliere «Un passo alla volta» e tornare all’esempio quando vuoi.
Passo 14 · Prima capisco
Costruisco un triangolo con il compasso
Costruisco un triangolo con il compasso Applico l’idea a un problema con più passaggi.
Gli appunti
Per un triangolo equilatero i tre lati devono essere uguali.
Piccolo esempio: Due archi con la stessa apertura aiutano a costruire un triangolo equilatero. Apro il compasso quanto la base e traccio due circonferenze, una da ciascun estremo.
Unisco gli estremi della base con una loro intersezione: i tre lati hanno la stessa misura.
Guardo un esempio svolto
Devi costruire un triangolo equilatero con il compasso. Il perimetro è espresso in decimetri: a quanti centimetri imposti l’apertura?
- Perimetro del triangolo equilatero:
- 3,75 dm
- Perimetro: 3,75 dm × 10 = 37,5 cm.
- Lato: 37,5 ÷ 3 = 12,5 cm.
- Il compasso deve riportare il lato: apertura 12,5 cm.
Il risultato: La risposta è 12,5 cm.
Ora provo con gli esercizi
Nell’allenamento rispondi a una domanda alla volta. Puoi chiedere un indizio, scegliere «Un passo alla volta» e tornare all’esempio quando vuoi.